null

Гомеоморфизм для самых маленьких

Начну повествование с одного математического мема:

 

 

Если вы поняли, что происходит в шутке, то эта статья не для вас, в обратном случае - приятного чтения. Здесь не будет точных определений и кучи терминов, только интуитивное описание.

Для начала надо разобраться с тем, что такое гомеоморфные пространства.

Всегда мечтала завести кота и назвать его Котангенс, поэтому пусть у меня в каком-то пространстве живет кот по имени Котангенс. Как настоящий кот, Котангенс может по этому пространству передвигаться в любом доступном направлении по его кошачьим делам.

Однажды, Котангенс задумался, на каком пространстве он обитает - на плоском диске, стоящем на спине большой черепахи или на шаре. Как у всех котов, у Котангенса нет никаких измерительных приборов, но он знает, чтобы понять на каком из этих пространств он живет нужно просто идти в одну сторону. Если он живет на шаре, то рано или поздно он придет в изначальную точку, а если на диске - дойдет до края. Все потому что шар и плоский диск не гомеоморфны. 

 

 

Если бы Котангенс пытался понять на окружности или на эллипсе он живет, то не имея никаких измерительных инструментов, он не смог бы определить это. Пространства окружности и эллипса являются гомеоморфными.

 

 

Теперь, когда появилось какое-то понимание, какие пространства гомеоморфны, а какие - нет, рассмотрим еще пару примеров.

Определить прямой или отрезком является пространство у кота легко получится. По прямой в любую сторону кот может идти бесконечно, а у отрезка есть концы - прямая и отрезок не гомеоморфны. Куда интереснее, если перед котом выбор между прямой и интервалом: с одной стороны кажется, что отличить прямую от интервала просто, но если Котангенс будет идти в одну сторону интервала он также никогда не дойдет до края, только будет бесконечно приближаться к нему и каждый будет проходить все меньшее расстояние. А так как кот Котангенс не имеет никаких измерительных приборов, то он никогда не узнает, что каждый раз проходит все меньшее расстояние.

Пример чуть сложнее: куб и шар с точки зрения Котангенса тоже будут гомеоморфны, потому что по ним также можно совершить кругосветное путешествие. А вот сфера и бублик уже не будут.  В какую бы сторону Котангенс не ходил по сфере - она будет делиться две половины одинокого. В бублике направление движения кота имеет значение. От направления движения зависит то, как будет делиться бублик. И когда Котангенс будет обходить вдоль, бублик будет условно делиться на 2 бублика, а когда Котангенс будет обходить бублик поперек через дырку - бублик вообще не разделится, а Котангенс будет иногда оказываться “внутри” дырки. 

Геометрические тела. Тор (тороид)., калькулятор онлайн, конвертерСфера — Википедия


 

Теперь можно перейти к более формализованному определению: гомеоморфные пространства - это те пространства, которые можно непрерывно отобразить друг в друга. Классический пример гомеоморфизма: с точки зрения топологии, чашка кофе тоже самое, что и бублик. Потыкать в пример можно по этой ссылке

В общем-то из теории это всё. Вернемся к изначальному мему:

 

Здесь сразу видим классический пример про кружку и бублик. С точки зрения топологии штаны, тоже самое, что фигура с двумя отверстиями, а майка - фигура с тремя отверстиями. Остались носки: что с ними не так? А просто один носок дырявый :)