null

Векторы для чайников. Часть 1. Сложение, разность, умножение на число.

Введение или шутка про котиков
 

Есть на баше одна уже старая шутка про черного кота, которая звучит как-то так:

- Если чёрный кот перешел дорогу туда и обратно, это значит, что он удвоил наказание или отменил своё решение? 
- Кот скалярный или векторный? Если скалярный - то удвоил, если векторный - то отменил.

В общем, с этой ноты и начинается статья про то, что было бы, если бы уже знакомый нам кот по имени Котаненс был векторным или скалярным, или статья о векторах.
 

Что такое вектор

 

Вектор - это направленный отрезок и главное, что нужно знать о векторе - у него есть величина и направление. Тут пока все сходится с котом, переходящим дорогу: кот идет в определенном направлении и проходит при этом определенное расстояние. 
 

 

Действия с векторами

 

В школьном курсе геометрии рассматриваются некоторые действия над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число, разность векторов. В основном, эти действия интуитивно понятные, достаточно только представить или нарисовать вектор или пару векторов. Давайте коротко рассмотрим эти действия.

Отдельно оговорюсь о существовании нулевых векторов - таких векторов, у которых начало и конец находятся в одной точке. Для упрощения материала этот нулевой вектор будет местами игнорироваться ввиду малой практической значимости.

Что ж, начнем.
 

Сложение векторов


Есть несколько методов сложения векторов, которые руководствуются похожими принципами. 
 

Для сложения двух векторов нам понадобятся вектора ā  и b̅ (кто бы мог подумать?) .

 

Отложим вектор b̅ от вектора ā и проведем от конца вектора ā до начала вектора b̅ результирующий вектор. Этот прием называется правило треугольника.

 

 

Результатом сложения будет вектор ā + b̅. Всё также, как с котом: сначала кот прошел по вектору ā (определенное расстояние в определенном направлении),  затем по вектору b̅. То, что он прошел в итоге - это и есть результирующий вектор ā + b̅.

 

Это же работает и для сложения нескольких векторов: кот может пробежать по зиг-загу, или же статно пройти по результирующему вектору.

 

Если же вектор b̅ отложить не от конца, а от начала вектора ā, то получится правило параллелограмма.

 

 

Тут можно вспомнить векторного кота из шутки - если векторный кот пройдет туда-обратно, результирующий вектор, по которому он пройдет - будет равняться 0, а значит - кот отменит свое проклятье.

 

Скалярный же кот при проходе туда-обратно сложит длины векторов и получит число в 2 раза больше изначального, а значит и проклятье удвоится.
 

Разность векторов
 


Разность векторов ā и b̅ также можно рассчитать несколькими способами.

 

ā - b̅, как частный случай сложения - это сложение вектора ā с вектором, обратному b̅, т.е.  ā + (-b̅).

 

Вектор  -b̅, обратный к вектору  b̅  сделать просто: кот просто должен пойти в обратную сторону.

 

А дальше просто складываем этот вектор с вектором  ā.

 

Второй способ получить разность векторов чуть сложнее для осознания: разностью векторов ā и b̅ называется такой вектор, сумма которого с вектором b̅ дает вектор  ā. Для понимания достаточно просто нарисовать на листочке и все станет ясно. 

 

 

 

Умножение вектора на число

 

Умножение вектора a на число n создает такой вектор, длина которого равна |ā| * | n |, где  |ā| - это длина вектора a, а направление сохраняется при n >= 0 и меняется при n < 0.

 

Заключение

 

Эта статья оказалась достаточно объемной, поэтому я рещила разделить ее на 2 части: во второй части статьи будет рассказано про векторное и скалярное произведение векторов и об этом можно почитать в статье "Векторы для чайников. Часть 2.".