null

Тайны комплексных чисел

Посвящено моим друзьям, которые будут читать эту статью :)

История

Вообще, комплексные числа появились еще в в XVI веке, когда математики пытались решить кубические уравнения с отрицательными дискриминантами.
 

Изначально было мнение, что комплексные числа появились при решении пытливыми умами математиков квадратных уравнений. Но на самом деле, это далеко от правды. В реальности при решении квадратного уравнения х^2 = kx + b геометрически на координатной плоскости представляется, как пересечение параболы и прямой, при этом возникает 3 варианта: 

  1. парабола не пересекает прямую 
  2. парабола касается прямой
  3. парабола пересекает прямую в 2-х местах

Поэтому с точки зрения математики здесь все было честно и у математиков не было мотивации искать мнимые корни из отрицательных чисел.

 

Все поменялось при решении кубических уравнений, в которых прямая всегда пересекает кубическую параболу. Но при этом в при аналитическом решении уравнения возникают ситуации, когда приходится извлекать корни из отрицательного числа, даже если уравнение имеет вещественные корни.
 

 

Понятие комплексного числа

 

Прежде чем перейти к определению комплексного числа необходимо сделать дисклеймер: не пытайтесь представить комплексное число в жизни - это тоже самое, что попытаться представить 4-ое измерение пространство в нашем бренном трехмерном мире. Комплексные числа необходимы в математике, для того, чтобы определить ту область чисел, которую нельзя отобразить через вещественные числа.

 

 

 

Пока звучит непонятно, так что давайте разбираться. 

Комплексное число имеет вид  и стоит заметить, что это единое число, а не сложение. Но при этом все комплексные числа имеют геометрическую интерпретацию и представляется на  комплексной плоскости:

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
   – Re - действительная ось
   – Im - мнимая ось

 


Здесь все также как в геометрии 6-8 класса. Для примера построим 3 точки:
 

 

Корни n-й степени из единицы

 

Самый частая ситуация при которой используются комплексные числа - это простое извлечение корней из отрицательных чисел, поэтому рассмотрм примеры того, как это делается.


Начнем с простого примера: 

 

Нельзя извлечь корень? В действительных числах здесь действительно не будет решений. В комплексных числах извлечь корень можно. А точнее даже два!
 

 

Проведем проверку:

 

Это был простой пример, а теперь давайте рассмотрим пример посложнее:


 

Сначала может показаться, что ответ достаточно просто найти, ведь  , но что же в таком случае происходит с  , ведь ? Что-то тут не сходится.
 

Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова, а меняется лишь его аргумент, все n значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса  c центром в начале координат. Корни делят эту окружность на n равных частей.
 

Таким образом   будет иметь модуль 2, а все его корни будут располагаться на окружности в комплексной плоскости с одинаковым равноудаленным интервалом. Стоит отметить тот факт, что длина всех отрезков на окружности - это все еще длина радиуса и она также имеет размер 2, разница лишь в том, где в комплексной плоскости расположено число. На комплексной плоскости это будет выглядеть так:
 

 

Для того, чтобы аналитически рассчитать значение корня необходимо воспользоваться формулой Муавра: 

 

Формула Муавра для комплексных чисел:

Для  

  .

Таким образом, для   корни будут находится на 2 (cos(π/4)+i sin(π/4)), что мы и видели уже на графике.

 

Положительные числа

А что же будет с положительными числами корня n-ной степени? Их тоже будет n штук! В общем-то принцип тут не меняется, их также можно найти по формуле Муавра, давайте сразу приведем ответ для уравнения 16^(1/4)

Т.е. решением уравнения х = 16^(1/4) будут корни: 

Давайте это проверим:


Работает!

 

 

 

Бонусная картинка для тех, кто дочитал до конца:

Вперед