null

Теорема Чикен МакНаггетса (Chicken McNugget Theorem)

Да-да, действительно существует теорема с таким названием. В чем заключается суть теоремы и почему она так называется и будет рассмотрено в этой статье.

 

Теорема ЧикенМакнаггетса была создана Анри Пиччиотто в 1980-х годах, когда он обедал в ресторане Макдоналдс вместе со своим сыном. Тогда  наггетсы продавались упаковками по 6 и 9 штук, и Анри решил узнать, какое максимальное количество наггетсов невозможно купить. Он решил эту задачу на салфетке и получил, что при взаимно простых  и решение задачи заключаться в решении  . В дальнейшем он включил эту теорему в свой учебник по алгебре.

Формальное определение теоремы: для любых двух взаимно простых положительных целых чисел  наибольшее целое число, которое не может быть записано в форме  для неотрицательных целых чисел  , равно  .

 

Сначала кажется, что эта теорема бесполезна в реальной жизни, однако теоремы такого типа часто применяются в задачах, связанных с расчетом денег. Например, какую максимальную сумму невозможно собрать используя только монеты с номиналом  3 и 7 единиц (ответ: 11). И на самом деле, теорема Чикен МакНагеттса всего-лишь частный случай проблемы монеты Фробениуса.

 

На этом познавательная часть теоремы закончилась и можно перейти к более серьезным вещам.

Доказательство теоремы

Определение: Количество  можно купить, если .

 

Требуется доказать, что - это наибольшее количество, которое невозможно купить. Для этого необходимо доказать, что:

  1. количество, которое невозможно купить.

  2.   можно купить.

 

Доказательство:

 

Лемма 1: Пусть множество решений уравнения  

 

Доказательство леммы 1:

По теореме Безу: . Легко проверить, что . Докажем, что других значений множества нет. Предположим, что  и решение . Тогда   . Поскольку и взаимно просты   делится на , делится на . Аналогично . Положим  . Тогда  

 

Лемма 2:

Доказательство леммы 2:

По алгоритму деления .

 

Лемма 3:   можно купить

Доказательство леммы 3:

Если , тогда можно выбрать    будет можно купить. Если , тогда  при  и при , одна из  

 

Таким образом набор непокупаемых чисел находится в  . Найдем максимум из этого набора. Так как , максимум достигается, когда и .

(Доказательство было взято и переведено отсюда)

Вперед