Предистория
 Заказчик удалил объект Active Directory и пересоздал с подобный именем с новым почтовым ящиком, перезатерев отображение удаленного ящика в Exchange.
 Старый почтовый ящик не отображался в списке удаленных
 Get-MailboxDatabase | foreach {Get-MailboxStatistics -Database $_.name} | where { $_.DisplayName -eq "<MyDeleted User" } 
 Восстановление и подключение неотображаемого удаленного почтового ящика
 Connect-Mailbox -Identity MyDeleted.User" -Database MailboxDatabase -User "MyDeleted.User" -Alias MyDeleted.User
невозможно 
 Connect-Mailbox -Identity MyDeleted.User" -Database MailboxDatabase -User "MyDeleted.User" -Alias MyDeleted.User
Mailbox "MyDeleted.User" doesn't exist on database "MailboxDatabase".
    + CategoryInfo          : NotSpecified: (MyDeleted.User:StoreMailboxIdParameter) [Connect-Mailbox], MdbAdminTaskException
    + FullyQualifiedErrorId : [Server=MAILSERVER,RequestId=cb53c028-889d-4b64-91b0-9d3eb2698cc4,TimeStamp=11.03.2019 12:57:22] [FailureCategory=Cmdlet-MdbAdminTaskExce
   ption] 5B7F7197,Microsoft.Exchange.Management.MapiTasks.ConnectMailbox
    + PSComputerName        : mailserver.mydomain.com
Почтовый ящик не видится среди удаленных, неактивных. Восстановление невозможно.
 
Решение 
Требуется восстановление удаленного объекта в ActiveDirectory утилитой Restore-ADObject
 Get-ADObject -Filter {displayName -eq "MyDeleted User"} -IncludeDeletedObjects | Restore-ADObject
 Сразу стал виден недоступный ранее удаленный почтовый ящик в exchange, и корректно отработал командлет
Connect-Mailbox -Identity MyDeleted.User" -Database MailboxDatabase -User "MyDeleted.User" -Alias MyDeleted.User